数学は、前回の不本意な計算ミス、問題文読み誤りの数々を払拭するために、スピードよりも落ち着いて解くことを最優先することを心に誓う。まずは開始したら問題文を全部読むんだ。それから難易度を予想しよう。
開始。①座標上の図形の面積と極限か。やればできるかも。図を少し書く。②うおお面倒そうな場合の数か。いや、最後に残るカードの番号?一義的に決まるのか。後回ししたいタイプだな。③問題文短い。単に微分して増減表…とは行かないのか。パラメータが二つ要るから…予選決勝法?これからやるかな。④整数。約数倍数か。大変そう。しかし解けなくはないはず。⑤来ました体積。切ってから動かして重ねるのが基本にして王道。⑥数列のようで、整式なのか。面倒そうな定義だな。(1)ではさむ準備をして、(2)で極限に収束することを示させる。流れはわかるがややこしそう。
④へ。円周上の点は三角関数で表すのが基本。しかし…角が二つ要るか。θとφを用いる。設定の注釈が面倒だ。ベクトルを二つ用意して、行列式の半分が三角形の面積S。しかしこれを展開するか…?カオスな式になりそうだ。うむむ、しかも予選も決勝も面倒そうだし。第一どうやって固定するんだよ。わからん。手早く諦める。次へ
比較的素直そうな①へ。初めに書いた図が間違っていたことに気づく。正しく書くと…これは接するのか。じゃあ円と双曲線を連立して重解かなじゃあ半径rで立式か。そこで何を考えたかyをrで表す。そしてrを表現しなくては、と思う。そこまでは良かったが変に接点などを考え始めるからまずかった。新しくパラメータ(p.q)を出す煩雑さに注意が行かなかったか。素直に判別式=0で行けたはずなのに。後はもう泥沼にはまり、時間の浪費。解答進まず。焦り始める。まあまだあと4題あるし。まずは一完だ。
④と①を諦めきれず往復するも、煩雑そうな体積計算が実は素直なんじゃないかと思い⑤へ。概形を描くが、何だこのねじれの位置は。z軸で切れば良いんだろうが…線分が動くからその方程式を立てるのか?立体の方程式は京都でしか出ないはず。むむむ。詰まった。大丈夫か俺。落ち着いて進んでいるはずなのに。
実は素直なのは場合の数(確率)かもと思い直し、②へ。実は規則性の問題だった。並べる。取り除く、取り除く、取り除く、…残るのは、あれ最大の2^nじゃん。こんな問題出るはずが…よく見ると、問題文にたとえが載っている。そうか、左右交互に一つ飛ばしか。良く読め俺。n=2,3,4,5あたりまで実験していて、2kと2k-1を使い分けて組み合わせるんだなあと思いつつ、漸化式を立てて一般項を出して偶奇で分けるのかな。自分にはできる気がしない。打ちのめされる。
④を見つつ、整数よりはたちが良さそうな⑥の漸化式に進む。まずは実験。n=0,1,2の時を確かめる。xの係数が多くなっていくのね。そして設問。うーん、基礎シリーズで平均値の定理を使って似たような不等式を作ったな。でもこれに平均値もくそも無い気がする。そこで簡単に諦めてしまう自分が情けない。試しに左辺-右辺≧0を試そうとしてみろよ。いずれやるんだから。
一通り手を付け終えてしまい、六問という問題の少なさを実感し、まだ一完もしていないしろくに答案も書いていない現状に焦る。この時点で一時間ほど経過している。しかし、曲がりなりにもこの自分が全く手が出ないというのはそれなりに難易度は高いと言うこと。一問解くだけでかなりのアドバンテージになるからそれを目指そうとする。しかしそこでどん詰まりの①を選ぶあたりが抜けている。「C : x^2;(y-a)^2=r^2 と H : x^2-y^2=1 が唯一の実数解yをもつ」と自分で書いたことぐらい思い出せばいいのに。そこに返ってやり直せばいいのに。自分でパラメータを作って首を絞めている。当然(1)から解けるはずもない。
気を取り直し続けに続けて、これも詰まり掛けている③へ。強引に条件を狭めて新しい面積の表し方を見つける。しかし進歩はしない。適切なパラメータを取ることの難しさを身にしみる。頭には0完の文字がちらつく。途中から「復習に回せばいいや」と開き直りつつも、泣きそうになったりもする。落ち着け。
敬遠していた③へ。表現の仕方が難しいが、少なくとも3と、連続する2整数だから偶数を含んで、後はそれに素数がいくつ入るかか。数えてみると意外とたくさんは入らないことに気づく。「このときは9…いや8つ、もう一つ素数が増えると…」とか考えて、忘れかけていた、約数の個数=(a^p)x(b^q)x(c^r)…の表現方法を思い出す。後はこれにもう一つ素因数を加えればいいから。場合分けは3つか。連続する2整数だかr限定して、答えは三つ出てくるっっ!書き写してようやく一完か。はあ。せっかくの一完だから減点されないように論理をチェックする。意外とこじつけてるところがあるから他を排除しておくか。自明だけど念のため。
ようやくの一完にテンションが上がる。こんなに楽になるものなんて。勢いに乗って興味があった⑤へ。
何より切り口を考えないとだな。高さをtとすると、PQの間にあるRをベクトルで表せば良いのだが、…そうか、絶対値で考えたら、tの値に比例して絶対値が変わるだけだもんね。パラメータ表示できちゃったよ。後はこれの描く図形を…ん、これは明らかに楕円!!!これは勝ちパターンか?楕円の面積ならこの前やったばかりのπabで表せて、うおお単なるtの二次式になるじゃん。見かけだけだったのか。興奮しつつも本当にパラメータ表示が合っているのか確かめるが、合っているとしか思えない。試しにt=0,2等を入れてみると面積は確かに0と4πになる。もらった。二次式の積分計算なんて文系レベル。しかしそれをミスるのが自分なので慎重に計算する。答えを出す。検算する。合う。これだ。これを見切った人はもったいない。
二完すると少し楽になる。少なくとも既に前回の試験よりは取れているはず。低レベルなのはわかっている。しかし無完と二完は雲泥の差だからね。視界が開けたところで⑥へ
これは素直に左辺-右辺をするしかないと思い、計算。左半分は後でやるか。とか思ってじっくり変形していくと、左半分と同じ式が出てくる。じゃあこれとPが0以上を示せればOKか。漸化式が煩雑であまりやりたくないが…帰納法か。と思い、kを仮定してk+1を示そうとする。片方は何とかできたがもう片方はできない。ううむ。と思っていると試験終了。
いやあ先週よりも格段に難しくなっていた。行列がない上に面倒なパラメータ表示と円に悩まされた。①でのどん詰まりを糧にして、思いついた解法はどんどん書き残して、手が詰まったときに他も考えられるようにしておくのが得策だと感じた。
2完0半は決して褒められる内容ではないが、前回のテンパりMAXに比べたら成長したと思う。自分の力がそれなりに出せたと感じた。後は力を付けるのが目標になる。
明日は理科があるので落とせない。遅くなったがこれ(模試レポ)は結構良い経験だと思う。読む人は全く楽しくないと思うけど、自分の記録として有用です。英語と理科もやることになるのかな。今月は大量更新だな(笑)